165 Известно, что в некотором эксперименте возможны события А и В. а) Найдите Р(А), если P(A∩B) = 0,2, P(A|B) = 0,5. 6) Найдите P(A), если P(B) = 0,3, P(A/B) = 3,P(B|A) = 1. 3

a) Для нахождения P(A) воспользуемся формулой условной вероятности: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$, откуда $$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A|B)}$$.

Также, по формуле $$P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$$, получаем $$P(A \cap B) = 0,2$$ и $$P(A|B) = 0,5$$.

Из формулы $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ выразим $$P(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A|B)} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4$$.

Теперь, зная $$P(A \cap B)$$ и $$P(B)$$, нужно найти $$P(A)$$. Но информации для этого недостаточно. В условии дана только $$P(A|B)$$. Для нахождения $$P(A)$$ нужна дополнительная информация.

Если предположить, что события А и В независимы, то $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$. Тогда $$P(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$$.

б) Дано: $$P(B) = 0,3$$, $$P(A|B) = \frac{2}{3}$$, $$P(B|A) = \frac{1}{3}$$. Нужно найти $$P(A)$$.

Используем формулу условной вероятности: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ и $$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$.

Выразим $$P(A \cap B)$$ из обоих уравнений: $$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$$.

Подставим известные значения: $$\frac{2}{3} \cdot 0,3 = \frac{1}{3} \cdot P(A)$$.

Решим уравнение относительно $$P(A)$$: $$P(A) = \frac{\frac{2}{3} \cdot 0,3}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \cdot 0,3 \cdot 3 = 2 \cdot 0,3 = 0,6$$.

Ответ: а) 0,5 (при условии независимости событий); б) 0,6