К—1, В—2. 2. Даны координаты вершин параллелограмма ABCD: A(−6; 1), B(0; 5), C(6; −4), D(0; −8). Докажите, что ABCD — прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей O.

Найдём векторы соседних сторон: \(\overrightarrow{AB}=(6;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(6;-9)\).

Их скалярное произведение равно \(6\cdot6+4\cdot(-9)=36-36=0\), поэтому соседние стороны перпендикулярны. Кроме того, \(\overrightarrow{CD}=(-6;-4)=-\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DA}=(6;9)=-\overrightarrow{BC}\); значит, противоположные стороны параллельны, и ABCD является параллелограммом. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Поэтому O — середина AC:

\(O=\left(\frac{-6+6}{2};\frac{1+(-4)}{2}\right)=(0;-\frac32)\).

Ответ: ABCD — прямоугольник; \(O=(0;-\frac32)\).