К–2, В–1. 1. На рисунке каждый из отрезков AB и CD точкой O делится пополам. Докажите, что угол DAO равен углу CBO. 2. Луч AD — биссектриса угла A. На сторонах угла A отмечены точки B и C так, что угол ADB равен углу ADC. Докажите, что AB = AC. 3. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием BC. С помощью циркуля и линейки проведите медиану BB1 к боковой стороне AC.

1. Так как точка O делит отрезки AB и CD пополам, то \(AO=OB\) и \(DO=OC\). Углы \(AOD\) и \(BOC\) — вертикальные, следовательно, они равны. Значит, треугольники \(AOD\) и \(BOC\) равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы равны: \(\angle DAO=\angle CBO\).

Ответ: \(\angle DAO=\angle CBO\).

2. Луч AD — биссектриса угла A, поэтому \(\angle BAD=\angle DAC\). По условию \(\angle ADB=\angle ADC\). Сторона AD — общая. Следовательно, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому их соответствующие стороны равны: \(AB=AC\).

Ответ: \(AB=AC\).

3. Постройте равнобедренный треугольник ABC с \(AB=BC\) и основанием AC. Чтобы провести медиану \(BB_1\) к стороне AC, циркулем из точек A и C проведите дуги одинакового радиуса, большие половины AC. Соедините точки пересечения дуг — получите серединный перпендикуляр к AC. Его пересечение со стороной AC обозначьте \(B_1\). Соедините B и \(B_1\). Полученный отрезок \(BB_1\) является медианой, так как \(AB_1=B_1C\).