К двум окружностям, касающимся внешним образом, проведена общая касательная. Найдите расстояние между точками касания и площадь O₁MPO₂, если радиусы окружностей R=36 см, r=25 см.

Для решения этой задачи нам потребуется найти расстояние между точками касания и площадь четырехугольника O₁MPO₂. Обозначим радиус большей окружности как R, а радиус меньшей – как r. Дано: R = 36 см, r = 25 см. 1. Нахождение расстояния MP: Проведем O₁M и O₂P – радиусы к точкам касания M и P соответственно. Опустим перпендикуляр из O₁ на O₂P, обозначим точку пересечения как H. Тогда O₁HO₂ – прямоугольный треугольник, в котором O₁O₂ = R + r = 36 + 25 = 61 см. O₂H = R - r = 36 - 25 = 11 см. $$O_1O_2 = R + r = 36 + 25 = 61$$ $$O_2H = R - r = 36 - 25 = 11$$ По теореме Пифагора для треугольника O₁HO₂: $$O_1H^2 + O_2H^2 = O_1O_2^2$$ $$O_1H^2 = O_1O_2^2 - O_2H^2 = 61^2 - 11^2 = 3721 - 121 = 3600$$ $$O_1H = \sqrt{3600} = 60$$ Так как O₁H = MP, то MP = 60 см. 2. Нахождение площади O₁MPO₂: Площадь четырехугольника O₁MPO₂ можно найти как сумму площадей двух треугольников: \(S_{O_1MO_2} \) и \(S_{O_1PO_2}\). Так как O₁M и O₂P перпендикулярны MP, то O₁MPO₂ - трапеция с основаниями O₁M и O₂P и высотой MP. Следовательно, площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. $$S_{O_1MPO_2} = \frac{O_1M + O_2P}{2} \cdot MP = \frac{r + R}{2} \cdot MP$$ $$S_{O_1MPO_2} = \frac{25 + 36}{2} \cdot 60 = \frac{61}{2} \cdot 60 = 61 \cdot 30 = 1830$$ Ответ: расстояние между точками касания MP = 60 см, площадь четырехугольника O₁MPO₂ = 1830 см²