2. К окружности с центром O проведена касательная MN (M – точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 12 см и \(\angle NOM = 30^\circ\).

Дано: Окружность с центром O, касательная MN, \(ON = 12\) см, \(\angle NOM = 30^\circ\). Найти: MN. Решение: 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, \(OM \perp MN\) и \(\angle OMN = 90^\circ\). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OMN\). В этом треугольнике катет OM лежит против угла \(\angle NOM = 30^\circ\). Известно, что катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Следовательно, \(OM = \frac{1}{2}ON = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см. 3. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника \(\triangle OMN\): \[ON^2 = OM^2 + MN^2,\] отсюда \[MN^2 = ON^2 - OM^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108.\] 4. Следовательно, \[MN = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\ \text{см}.\] Ответ: \(MN = 6\sqrt{3}\ \text{см}\).