3. В окружности с центром O проведены диаметр DK и хорды KA и KB так, что \(\angle OAK = \angle OBK\) (рис. 67). Докажите, что AK = BK.

Дано: Окружность с центром в точке O, DK – диаметр, KA и KB – хорды, \(\angle OAK = \angle OBK\). Доказать: AK = BK. Доказательство: 1. \(OA = OB\) как радиусы одной окружности. Следовательно, треугольник \(\triangle OAB\) – равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит \(\angle OAB = \angle OBA\). 3. По условию \(\angle OAK = \angle OBK\). 4. Тогда \(\angle BAK = \angle OAK - \angle OAB\) и \(\angle ABK = \angle OBK - \angle OBA\). Следовательно, \(\angle BAK = \angle ABK\). 5. Следовательно, треугольник \(\triangle ABK\) – равнобедренный с основанием AB. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит AK = BK. Что и требовалось доказать.