К окружности с центром О провели касательную АB (B – точка касания). Найдите радиус окружности, ес- ли АВ = 8 см и ∠AOB = 45°.

Дано: Окружность с центром в точке О, АВ - касательная, В - точка касания, АВ = 8 см, ∠AOB = 45°.

Найти: радиус окружности ОВ.

Решение:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, угол ∠ABO - прямой, то есть ∠ABO = 90°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник △ABO. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

$$tg∠AOB = \frac{AB}{OB}$$

$$OB = \frac{AB}{tg∠AOB}$$

$$OB = \frac{8}{tg45°}$$

$$tg45° = 1$$

$$OB = \frac{8}{1} = 8$$

Радиус окружности ОВ равен 8 см.

Ответ: 8 см.