К окружности с центром в точке О из точки А проведены две касательные, угол между которыми равен 120°. Найдите длины отрезков касательных, если ОА = 24 см.

Пусть точки касания будут В и С. Отрезки касательных АВ и АС равны. Угол между касательными равен 120°, значит, угол между радиусами ОВ и ОС, проведенными к точкам касания, равен $$360° - 90° - 90° - 120° = 60°$$.

Рассмотрим треугольник ОАВ. Он прямоугольный (угол АВО = 90°). Угол ОАВ равен половине угла между касательными, то есть $$120° / 2 = 60°$$.

В прямоугольном треугольнике ОАВ: $$\sin(\angle OAB) = \frac{OB}{OA}$$.

$$\sin(60°) = \frac{OB}{24}$$.

$$OB = 24 \times \sin(60°) = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$$ см.

Длины отрезков касательных АВ и АС равны.

В прямоугольном треугольнике ОАВ: $$\cos(\angle OAB) = \frac{AB}{OA}$$.

$$\cos(60°) = \frac{AB}{24}$$.

$$AB = 24 \times \cos(60°) = 24 \times \frac{1}{2} = 12$$ см.

Длины отрезков касательных равны 12 см.