5. К окружности с центром в точке O проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством касательной к окружности: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Обозначим радиус окружности как *r*. Рассмотрим прямоугольный треугольник *AOB*, где *O* - центр окружности, *A* - точка на касательной, *B* - точка касания. Тогда *OB* = *r* (радиус), *AB* = 12 см (дано), *AO* = 13 см (дано). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника *AOB* имеем: $$AO^2 = AB^2 + OB^2$$ $$13^2 = 12^2 + r^2$$ $$169 = 144 + r^2$$ $$r^2 = 169 - 144$$ $$r^2 = 25$$ $$r = \sqrt{25}$$ $$r = 5$$ Ответ: радиус окружности равен 5 см.