7*. В окружности радиуса 10 см проведён диаметр и на нём взята точка А на расстоянии 5 см от центра. Найдите радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности.

Пусть *O* - центр большей окружности радиуса *R* = 10 см, а *O₁* - центр меньшей окружности радиуса *r*. Точка *A* лежит на диаметре большей окружности и находится на расстоянии 5 см от центра *O*. Меньшая окружность касается диаметра большей окружности в точке *A* и касается большей окружности изнутри. Обозначим точку касания окружностей как *K*. Тогда точки *O*, *O₁* и *K* лежат на одной прямой. Значит, *OO₁* = *OK* - *O₁K* = *R* - *r* = 10 - *r*. Проведем перпендикуляр *O₁B* из точки *O₁* к радиусу *OA*. Тогда *O₁B* = *OA* = 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник *OO₁B*. В нем *OO₁* = 10 - *r*, *O₁B* = 5, *OB* = *OA* - *BA* = 5 - *r*. По теореме Пифагора для треугольника *OO₁B* имеем: $$OO_1^2 = O_1B^2 + OB^2$$ $$(10 - r)^2 = 5^2 + (5 - r)^2$$ $$100 - 20r + r^2 = 25 + 25 - 10r + r^2$$ $$100 - 20r = 50 - 10r$$ $$50 = 10r$$ $$r = 5$$ Ответ: радиус второй окружности равен 5 см.