К окружности с центром в точке О провели две касательные КМ и KL из точки К так, что М и L — точки касания. Определите градусную меру большей дуги ML, если известно, что длина отрезка КМ равна радиусу данной окружности.

Решение:

1. Свойства касательных:

   По условию КМ и KL — касательные к окружности, проведенные из точки К. Радиусы ОМ и OL, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, $$\angle OMK = \angle OLK = 90^{\circ}$$.

2. Рассмотрим четырехугольник OMLK:

   Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.

   \[ \angle MOL + \angle OMK + \angle MKL + \angle OLK = 360^{\circ} \]

   \[ \angle MOL + 90^{\circ} + \angle MKL + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]

   \[ \angle MOL + \angle MKL = 180^{\circ} \]

3. Рассмотрим треугольник OMK:

   По условию, длина отрезка КМ равна радиусу окружности. Значит, KM = OM = OL = R.

   Треугольник OMK — прямоугольный (так как OM ⊥ KM). В нем OM = KM = R. Это означает, что треугольник OMK — равнобедренный прямоугольный треугольник.

   Углы при основании равны:

   \[ \angle OKM = \angle MOK = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \]

4. Найдем угол MOL:

   Аналогично, треугольник OLK является равнобедренным прямоугольным треугольником, и $$\angle LOK = 45^{\circ}$$.

   \[ \angle MOL = \angle MOK + \angle LOK = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \]

5. Найдем градусную меру большей дуги ML:

   Градусная мера дуги ML, соответствующая центральному углу $$\angle MOL$$, равна 90°.

   Полная окружность равна 360°.

   Градусная мера большей дуги ML равна:

   \[ 360^{\circ} - 90^{\circ} = 270^{\circ} \]

Ответ: 270°