В параллелограмме ABCD на сторонах ВС и CD отметили точки М и N — середины сторон ВС и CD соответственно. Найдите площадь параллелограмма ABCD, зная, что АС ⊥ BD, MN = 18 см, АС = 48 см.

Решение:

1. Свойства параллелограмма:

   В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию AC ⊥ BD, значит, диагонали перпендикулярны.

   Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, является ромбом.

2. Свойства средней линии треугольника:

   Рассмотрим треугольник BCD. Точка M — середина BC, точка N — середина CD. Следовательно, MN — средняя линия треугольника BCD.

   По свойству средней линии, MN параллельна BD и равна половине длины BD:

   \[ MN = \frac{1}{2} BD \]

   По условию MN = 18 см, значит:

   \[ 18 = \frac{1}{2} BD \]

   \[ BD = 18 \times 2 = 36 \text{ см} \]

3. Площадь ромба:

   Площадь ромба можно найти по формуле, используя длины диагоналей:

   \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \]

   Где $$d_1 = AC$$ и $$d_2 = BD$$.

   По условию AC = 48 см, и мы нашли BD = 36 см.

   \[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 48 \times 36 \]

   \[ S_{ABCD} = 24 \times 36 \]

   Вычисляем произведение:

   \[ 24 \times 36 = 24 \times (30 + 6) = 720 + 144 = 864 \text{ см}^2 \]

Ответ: 864 см²