3. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружностивосставлен перпендикуляр длиной 3. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника, если длины сторон треугольника 13, 14 и 15

Обозначим треугольник АВС, длины сторон которого: АВ = 13, ВС = 14, АС = 15. Пусть О – центр вписанной окружности, ОD – перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, OD = 3. Расстояние от точки D до сторон треугольника – это длина перпендикуляра, опущенного из точки D на каждую из сторон треугольника. Обозначим эти перпендикуляры как DК, DМ и DР, где К, М и Р – точки на сторонах АВ, ВС и АС соответственно.

      A
     / \
    /   \
   /     \
  B-------C
  |     |
  K     M
  |     |
  O - центр вписанной окружности
  OD - перпендикуляр к ABC
  DK, DM, DP - перпендикуляры к сторонам

Так как О – центр вписанной окружности, то ОК, ОМ и ОР – радиусы вписанной окружности, проведенные к точкам касания, а значит, они перпендикулярны сторонам треугольника. ОК = ОМ = ОР = r.

Рассмотрим треугольники DОК, DОМ и DОР. Они прямоугольные (т.к. OD – перпендикуляр к плоскости АВС, следовательно, OD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости). Катеты ОК, ОМ и ОР равны радиусу r, а катет OD = 3. Значит, эти треугольники равны по двум катетам. Следовательно, гипотенузы DК, DМ и DР также равны. DК = DМ = DР.

То есть, чтобы найти расстояние от точки D до сторон треугольника, достаточно найти длину одного из этих отрезков, например DК.

Для этого сначала найдем радиус вписанной окружности r.

Используем формулу: $$r = \frac{S}{p}$$, где S – площадь треугольника, p – полупериметр треугольника.

Полупериметр p вычислим по формуле:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Площадь треугольника S найдем по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$, где a, b, c – стороны треугольника.

$$S = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

$$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник DОК. По теореме Пифагора найдем DК:

$$DK = \sqrt{OD^2 + OK^2}$$

Подставим значения OD = 3 и ОК = r = 4:

$$DK = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Так как DК = DМ = DР, то расстояние от точки D до каждой из сторон треугольника равно 5.

Ответ: 5