9. К потолку подвешены два маятника. За одинаковое время один маятник совершил 5 колебаний, а другой — 3 колебания. Какова длина каждого маятника, если разность их длин 48 см?

Пусть t - одинаковое время колебаний для обоих маятников.

Для первого маятника:

• n₁ = 5 (количество колебаний)
• T₁ = t / n₁ = t / 5 (период колебаний)
• l₁ - длина первого маятника

Для второго маятника:

• n₂ = 3 (количество колебаний)
• T₂ = t / n₂ = t / 3 (период колебаний)
• l₂ - длина второго маятника

Разность длин маятников: |l₁ - l₂| = 48 см = 0,48 м

Период колебаний математического маятника:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Выразим длину маятника через период:

$$l = \frac{gT^2}{4\pi^2}$$

Тогда для первого и второго маятников:

$$l_1 = \frac{gT_1^2}{4\pi^2} = \frac{g(t/5)^2}{4\pi^2} = \frac{gt^2}{100\pi^2}$$ $$l_2 = \frac{gT_2^2}{4\pi^2} = \frac{g(t/3)^2}{4\pi^2} = \frac{gt^2}{36\pi^2}$$

Из условия |l₁ - l₂| = 0.48 м:

$$\left| \frac{gt^2}{100\pi^2} - \frac{gt^2}{36\pi^2} \right| = 0.48$$ $$\frac{gt^2}{\pi^2} \left| \frac{1}{100} - \frac{1}{36} \right| = 0.48$$ $$\frac{gt^2}{\pi^2} \left| \frac{36 - 100}{3600} \right| = 0.48$$ $$\frac{gt^2}{\pi^2} \cdot \frac{64}{3600} = 0.48$$ $$t^2 = \frac{0.48 \cdot 3600 \cdot \pi^2}{64 \cdot g} = \frac{0.48 \cdot 3600 \cdot \pi^2}{64 \cdot 9.8} \approx 27.34$$ $$t \approx \sqrt{27.34} \approx 5.23 \text{ с}$$

Теперь найдем длины маятников:

$$l_1 = \frac{9.8 \cdot (5.23)^2}{100 \cdot \pi^2} \approx \frac{9.8 \cdot 27.35}{100 \cdot 9.87} \approx 0.27 \text{ м} = 27 \text{ см}$$ $$l_2 = \frac{9.8 \cdot (5.23)^2}{36 \cdot \pi^2} \approx \frac{9.8 \cdot 27.35}{36 \cdot 9.87} \approx 0.75 \text{ м} = 75 \text{ см}$$

Ответ: Длина первого маятника примерно равна 27 см, длина второго маятника примерно равна 75 см.