К-5 ВАРИАНТ 1 • Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ № 1. Решите уравнение: а) 3x2 – 5x – 8 = 0; 6) 49x2 – 4 = 0; в) 7х2 = 21х; г) (x – 1)² + 3(x – 1) – 4 = 0. OTBET: a) -1; 2 2/3; 6) –2/7 и 2/7; в) 0; 3; г) –3; 2. № 2. Найдите два последовательных чётных натуральных числа, произведение которых равно 168. ОТВЕТ: 12 и 14. № 3. Один из корней квадратного уравнения х2 – 6x + q = 0 равен 3 + √5. Найдите другой корень и коэффициент q. OTBET: X2 = 3 - √5; q = 4.

№ 1. Решим уравнения:

a) 3x² – 5x – 8 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 11}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 11}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

б) 49x² – 4 = 0

$$49x^2 = 4$$

$$x^2 = \frac{4}{49}$$

$$x_1 = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$$ $$x_2 = -\sqrt{\frac{4}{49}} = -\frac{2}{7}$$

в) 7x² = 21x

$$7x^2 - 21x = 0$$

$$x(7x - 21) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$7x - 21 = 0$$

$$7x = 21$$

$$x = \frac{21}{7} = 3$$

г) (x – 1)² + 3(x – 1) – 4 = 0

Замена: y = x – 1

$$y^2 + 3y - 4 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Вернемся к замене:

$$x - 1 = 1$$

$$x = 1 + 1 = 2$$

$$x - 1 = -4$$

$$x = -4 + 1 = -3$$

№ 2. Найдем два последовательных чётных натуральных числа, произведение которых равно 168.

Пусть первое число x, тогда второе x + 2.

$$x(x + 2) = 168$$

$$x^2 + 2x - 168 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 4 + 672 = 676$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 26}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{676}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 26}{2} = \frac{-28}{2} = -14$$

Так как число натуральное, то x = 12, тогда x + 2 = 14.

№ 3. Один из корней квадратного уравнения x² – 6x + q = 0 равен 3 + √5. Найдите другой корень и коэффициент q.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

$$x_1 + x_2 = -\frac{-6}{1} = 6$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{1} = q$$

$$3 + \sqrt{5} + x_2 = 6$$

$$x_2 = 6 - 3 - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5}$$

$$q = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 9 - 3\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - 5 = 4$$

Ответ: № 1. a) -1; 2 2/3; 6) –2/7 и 2/7; в) 0; 3; г) –3; 2; № 2. 12 и 14; № 3. x₂ = 3 - √5; q = 4.