К-5 ВАРИАНТ 2 + Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ № 1. Решите уравнение: а) 3х2 – 7x + 2 = 0; 6) 25x2 – 81 = 0; в) 6х2 = 18х; г) (x – 2)2 – 3(x – 2) – 54 = 0. OTBET: a) 1/3; 2; 6) -1,8; 1,8; в) 0; 3; г) –4; 11. № 2. Одно из двух натуральных чисел на 5 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 104. ОТВЕТ: 8 и 13. № 3. Корни квадратного уравнения x2 – x + q = 0 удовлетворяют условию 7×1 + 6X2 = 0. Найдите эти корни и коэффициент q. OTBET: -6; 7; q = -42.

№ 1. Решим уравнения:

а) 3x² – 7x + 2 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

б) 25x² – 81 = 0

$$25x^2 = 81$$

$$x^2 = \frac{81}{25}$$

$$x_1 = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5} = 1.8$$

$$x_2 = -\sqrt{\frac{81}{25}} = -\frac{9}{5} = -1.8$$

в) 6x² = 18x

$$6x^2 - 18x = 0$$

$$x(6x - 18) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$6x - 18 = 0$$

$$6x = 18$$

$$x = \frac{18}{6} = 3$$

г) (x – 2)² – 3(x – 2) – 54 = 0

Замена: y = x – 2

$$y^2 - 3y - 54 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Вернемся к замене:

$$x - 2 = 9$$

$$x = 9 + 2 = 11$$

$$x - 2 = -6$$

$$x = -6 + 2 = -4$$

№ 2. Одно из двух натуральных чисел на 5 больше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 104.

Пусть первое число x, тогда второе x + 5.

$$x(x + 5) = 104$$

$$x^2 + 5x - 104 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-104) = 25 + 416 = 441$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 21}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{441}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 21}{2} = \frac{-26}{2} = -13$$

Так как число натуральное, то x = 8, тогда x + 5 = 13.

№ 3. Корни квадратного уравнения x² – x + q = 0 удовлетворяют условию 7×₁ + 6x₂ = 0. Найдите эти корни и коэффициент q.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

$$x_1 + x_2 = -\frac{-1}{1} = 1$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{1} = q$$

Выразим x₁ через x₂:

$$7x_1 = -6x_2$$

$$x_1 = -\frac{6}{7}x_2$$

Подставим в первое уравнение:

$$- \frac{6}{7}x_2 + x_2 = 1$$

$$\frac{1}{7}x_2 = 1$$

$$x_2 = 7$$

Тогда

$$x_1 = -\frac{6}{7} \cdot 7 = -6$$

$$q = -6 \cdot 7 = -42$$

Ответ: № 1. a) 1/3; 2; 6) -1,8; 1,8; в) 0; 3; г) –4; 11; № 2. 8 и 13; № 3. -6; 7; q = -42.