К-5 ВАРИАНТ 3 • Нажмите на спойлер, чтобы увидеть ЗАДАНИЯ № 1. Решите уравнение: а) 5x2 + 14x − 3 = 0; 6) 9x2 – 25 = 0; в) 9х2 = 63х; г) (x + 3)2 – 2(x + 3) – 15 = 0. OTBET: a) -3; 1/5; 6) -1 2/3; 1 2/3; в) 0; 7; г) –6; 2. № 2. Найдите два последовательных нечётных натуральных числа, произведение которых равно 143. ОТВЕТ: 11 и 13. № 3. Один из корней квадратного уравнения х² - 4x + q = 0 равен 2 – √5. Найдите другой корень и коэффициент q. OTBET: X2 = 2 + √5; q = -1.

№ 1. Решим уравнения:

а) 5x² + 14x − 3 = 0

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{-14 - 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3$$

б) 9x² – 25 = 0

$$9x^2 = 25$$

$$x^2 = \frac{25}{9}$$

$$x_1 = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$$

$$x_2 = -\sqrt{\frac{25}{9}} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$$

в) 9x² = 63x

$$9x^2 - 63x = 0$$

$$x(9x - 63) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$9x - 63 = 0$$

$$9x = 63$$

$$x = \frac{63}{9} = 7$$

г) (x + 3)² – 2(x + 3) – 15 = 0

Замена: y = x + 3

$$y^2 - 2y - 15 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Вернемся к замене:

$$x + 3 = 5$$

$$x = 5 - 3 = 2$$

$$x + 3 = -3$$

$$x = -3 - 3 = -6$$

№ 2. Найдите два последовательных нечётных натуральных числа, произведение которых равно 143.

Пусть первое число x, тогда второе x + 2.

$$x(x + 2) = 143$$

$$x^2 + 2x - 143 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-143) = 4 + 572 = 576$$

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 24}{2} = \frac{22}{2} = 11$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 24}{2} = \frac{-26}{2} = -13$$

Так как число натуральное, то x = 11, тогда x + 2 = 13.

№ 3. Один из корней квадратного уравнения x² - 4x + q = 0 равен 2 – √5. Найдите другой корень и коэффициент q.

По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

$$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4$$

$$x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{1} = q$$

$$2 - \sqrt{5} + x_2 = 4$$

$$x_2 = 4 - 2 + \sqrt{5} = 2 + \sqrt{5}$$

$$q = (2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5}) = 4 + 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} - 5 = -1$$

Ответ: № 1. a) -3; 1/5; 6) -1 2/3; 1 2/3; в) 0; 7; г) –6; 2; № 2. 11 и 13; № 3. x₂ = 2 + √5; q = -1.