5. Какая из парабол $$y = x^2 - 2x$$ или $$y = x^2 - 2$$ проходит через начало координат? Постройте эту параболу.

Парабола проходит через начало координат, если при $$x = 0$$ значение $$y = 0$$.

Проверим первую параболу: $$y = x^2 - 2x$$. Если $$x = 0$$, то $$y = 0^2 - 2(0) = 0$$. Значит, первая парабола проходит через начало координат.

Проверим вторую параболу: $$y = x^2 - 2$$. Если $$x = 0$$, то $$y = 0^2 - 2 = -2$$. Значит, вторая парабола не проходит через начало координат.

Таким образом, парабола, проходящая через начало координат, это $$y = x^2 - 2x$$.

Теперь построим график параболы $$y = x^2 - 2x$$.

Найдем вершину параболы. Координата x вершины находится по формуле $$x_v = -\frac{b}{2a}$$. В данном случае, $$a = 1$$ и $$b = -2$$, следовательно,

$$x_v = -\frac{-2}{2(1)} = 1$$

Найдем координату y вершины, подставив $$x_v = 1$$ в уравнение параболы:

$$y_v = 1^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$$

Итак, вершина параболы находится в точке (1, -1).

Найдем точки пересечения параболы с осью x. Для этого решим уравнение $$x^2 - 2x = 0$$:

$$x(x - 2) = 0$$

Отсюда получаем два корня: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 2$$. Таким образом, парабола пересекает ось x в точках (0, 0) и (2, 0).

Ответ: Парабола $$y = x^2 - 2x$$ проходит через начало координат.