1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Существует равнобедренный треугольник, в котором один из углов в два раза больше другого. 2) В любом прямоугольном треугольнике один из катетов в два раза меньше другого. 3) При пересечении двух любых прямых сумма образованных ими вертикальных углов равна 180°. 4) В любом треугольнике длина одной из сторон меньше суммы длин двух других сторон.

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник. Пусть углы при основании равны $$x$$, тогда угол при вершине равен $$2x$$. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, $$x + x + 2x = 180$$, $$4x = 180$$, $$x = 45$$. То есть углы треугольника 45°, 45° и 90°. Такое возможно. 2) Это не всегда верно. Например, в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. 3) Вертикальные углы равны, поэтому их сумма может быть любой, но не всегда 180°. 4) Это верно согласно неравенству треугольника. Таким образом, верные утверждения 1 и 4. Ответ: 14