10. Какое из чисел больше: $$\sqrt{6} + \sqrt{10}$$ или $$3 + \sqrt{7}$$?

Сравним числа, возведя их в квадрат: $$(\sqrt{6} + \sqrt{10})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \sqrt{6} \sqrt{10} + (\sqrt{10})^2 = 6 + 2 \sqrt{60} + 10 = 16 + 2 \sqrt{60}$$ $$(3 + \sqrt{7})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 9 + 6 \sqrt{7} + 7 = 16 + 6 \sqrt{7}$$ Сравним $$2 \sqrt{60}$$ и $$6 \sqrt{7}$$: Разделим оба выражения на 2: $$\sqrt{60}$$ и $$3 \sqrt{7}$$ Возведем в квадрат: $$(\sqrt{60})^2 = 60$$ и $$(3 \sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$$ Так как $$60 < 63$$, то $$\sqrt{60} < 3 \sqrt{7}$$, следовательно $$2 \sqrt{60} < 6 \sqrt{7}$$. Значит, $$16 + 2 \sqrt{60} < 16 + 6 \sqrt{7}$$, то есть $$(\sqrt{6} + \sqrt{10})^2 < (3 + \sqrt{7})^2$$. Таким образом, $$\sqrt{6} + \sqrt{10} < 3 + \sqrt{7}$$. Ответ: $$3 + \sqrt{7}$$ больше, чем $$\sqrt{6} + \sqrt{10}$$.