Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромбом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны.

Доказательство:

1. Взаимная перпендикулярность диагоналей:

1. Рассмотрим ромб ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. Так как все стороны ромба равны (AB = BC = CD = DA), то треугольники ABC и ADC равны по трём сторонам.
3. Следовательно, их соответствующие углы равны: ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA. Это означает, что диагональ AC является биссектрисой углов A и C.
4. Аналогично, треугольники ABD и CBD равны, и диагональ BD является биссектрисой углов B и D.
5. Рассмотрим треугольник ABO и треугольник CBO.
6. AB = CB (стороны ромба).
7. BO — общая сторона.
8. ∠ABO = ∠CBO (так как BD — биссектриса угла B).
9. Следовательно, треугольники ABO и CBO равны по двум сторонам и углу между ними.
10. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие углы ∠AOB = ∠COB.
11. Углы AOB и COB — смежные, их сумма равна 180°.
12. Значит, 2∠AOB = 180°, откуда ∠AOB = 90°.
13. Следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

2. Деление углов пополам:

1. Как было показано в пункте 1 (шаг 3), диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Вывод: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.