Какой четырёхугольник называется ромбом? Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Доказательство, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам:

1. Пусть ABCD – ромб, O – точка пересечения диагоналей AC и BD.
2. Так как ромб – это параллелограмм, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, AO = OC и BO = OD.
3. Рассмотрим треугольники ABO и CBO. У них AB = BC (как стороны ромба), BO – общая сторона, AO = OC (из пункта 2). Следовательно, треугольники ABO и CBO равны по трем сторонам.
4. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠ABO = ∠CBO, ∠BAO = ∠BCO, ∠AOB = ∠COB. Таким образом, диагональ BD является биссектрисой угла ABC, а диагональ AC является биссектрисой угла BCD.
5. Так как ∠AOB и ∠COB – смежные углы и ∠AOB = ∠COB, то ∠AOB = ∠COB = 90°. Следовательно, диагонали AC и BD перпендикулярны.
6. Аналогично доказывается, что диагонали AC и BD делят пополам углы BAD и ADC.