Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 7 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые шесть секунд?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, так как каждый следующий член (расстояние, пролетаемое за секунду) увеличивается на постоянную величину.

Первый член прогрессии (расстояние, пролетаемое за 1-ю секунду): \( a_1 = 7 \) м.

Разность прогрессии (увеличение расстояния каждую секунду): \( d = 10 \) м.

Нам нужно найти сумму расстояний за первые 6 секунд, то есть \( S_6 \).

Сначала найдем расстояние, которое пролетит камень за 6-ю секунду ( \( a_6 \) ):

\( a_n = a_1 + (n-1)d \)

\( a_6 = 7 + (6-1) × 10 = 7 + 5 × 10 = 7 + 50 = 57 \) м.

Теперь найдем сумму первых 6 членов прогрессии:

\( S_n = \frac{(a_1 + a_n) × n}{2} \)

\( S_6 = \frac{(7 + 57) × 6}{2} = \frac{64 × 6}{2} = 64 × 3 = 192 \) м.

Ответ: 192.