Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 10 м, а за каждую следующую секунду — на 15 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Высота ущелья, пройденная камнем за 5 секунд, является суммой первых 5 членов прогрессии.

1. Высота, пройденная за 1-ю секунду: \( a_1 = 10 \) м.
2. Разность прогрессии: \( d = 15 \) м.
3. Формула для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).
4. Вычислим высоту, пройденную за каждую секунду:
• \( a_1 = 10 \) м
• \( a_2 = 10 + (2-1) × 15 = 10 + 15 = 25 \) м
• \( a_3 = 10 + (3-1) × 15 = 10 + 30 = 40 \) м
• \( a_4 = 10 + (4-1) × 15 = 10 + 45 = 55 \) м
• \( a_5 = 10 + (5-1) × 15 = 10 + 60 = 70 \) м
5. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} × n \)
6. Вычислим сумму пройденного расстояния за 5 секунд:
• \( S_5 = \frac{10 + 70}{2} × 5 = \frac{80}{2} × 5 = 40 × 5 = 200 \) м

Ответ: 200 м.