Карточка №2 1. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды. 2. Основание прямой призмы - ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности – 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. 3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение карточки №2: 1. Для решения этой задачи необходимо знать формулу площади боковой поверхности правильной пирамиды: (S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} cdot l), где (P_{осн}) - периметр основания, (l) - апофема (высота боковой грани). 2. Дано: ромб с острым углом (60°). Боковое ребро призмы (h = 10) см, площадь боковой поверхности (S_{бок} = 240) см². Нужно найти площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. * Найдем сторону ромба. Периметр ромба (P = \frac{S_{бок}}{h} = \frac{240}{10} = 24) см. Тогда, сторона ромба (a = \frac{P}{4} = \frac{24}{4} = 6) см. * Меньшая диагональ ромба лежит против острого угла. Ее можно найти по теореме косинусов: (d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 cos(60°) = 2a^2 - 2a^2(\frac{1}{2}) = a^2). Таким образом, (d = a = 6) см. * Сечение призмы - это прямоугольник со сторонами (d) и (h). Его площадь равна (S_{сеч} = d cdot h = 6 cdot 10 = 60) см². Ответ: Площадь сечения призмы равна 60 см². 3. Дано: правильная треугольная пирамида, боковое ребро (b = 5) см, высота (h = \sqrt{13}) см. Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. * Сначала найдем сторону основания (a). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, боковым ребром и отрезком от основания высоты до вершины основания. Этот отрезок является радиусом описанной окружности (R = \frac{a\sqrt{3}}{3}). * По теореме Пифагора: (R^2 + h^2 = b^2), то есть ((\frac{a\sqrt{3}}{3})^2 + (\sqrt{13})^2 = 5^2). Следовательно, (\frac{3a^2}{9} + 13 = 25), (\frac{a^2}{3} = 12), (a^2 = 36), (a = 6) см. * Теперь найдем апофему (l). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности (r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}) см. * По теореме Пифагора: (l^2 = h^2 + r^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{3})^2 = 13 + 3 = 16), следовательно, (l = 4) см. * Площадь боковой поверхности равна (S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн}l = \frac{1}{2}(3a)l = \frac{1}{2}(3 cdot 6) cdot 4 = 36) см². Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 36 см².