Карточка №1 1. Призма. Площадь боковой поверхности прямой призмы. 2. Основания прямой призмы - ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. 3. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение карточки №1: 1. Для решения этой задачи необходимо знать, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. То есть, (S_{бок} = P_{осн} cdot h). 2. Дано: ромб со стороной (a = 5) см и углом (120°). Площадь боковой поверхности (S_{бок} = 240) см². Нужно найти площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания. * Сначала найдем высоту призмы (h). Периметр ромба равен (P = 4a = 4 cdot 5 = 20) см. Тогда, (h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{240}{20} = 12) см. * Меньшая диагональ ромба лежит против тупого угла. Ее можно найти по теореме косинусов: (d^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 cos(120°) = 2a^2 - 2a^2(-\frac{1}{2}) = 3a^2). Таким образом, (d = a\sqrt{3} = 5\sqrt{3}) см. * Сечение призмы - это прямоугольник со сторонами (d) и (h). Его площадь равна (S_{сеч} = d cdot h = 5\sqrt{3} cdot 12 = 60\sqrt{3}) см². Ответ: Площадь сечения призмы равна (60\sqrt{3}) см². 3. Дано: правильная треугольная пирамида, сторона основания (a = 6) см, высота (h = \sqrt{13}) см. Нужно найти площадь боковой поверхности пирамиды. * Для начала найдем апофему (высоту боковой грани). Пусть (l) - апофема. Тогда (l^2 = h^2 + r^2), где (r) - радиус вписанной окружности в основание. Для правильного треугольника (r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}) см. * (l^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{3})^2 = 13 + 3 = 16), следовательно, (l = 4) см. * Площадь одной боковой грани равна (S_{грани} = \frac{1}{2}al = \frac{1}{2} cdot 6 cdot 4 = 12) см². * Площадь боковой поверхности равна (S_{бок} = 3S_{грани} = 3 cdot 12 = 36) см². Ответ: Площадь боковой поверхности пирамиды равна 36 см².