Касательные в точках A и B к окружности с центром О пересекаются под углом 36°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Рассмотрим четырёхугольник AOBP, где P — точка пересечения касательных. Углы OAP и OBP — прямые, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ} \).

Сумма углов в четырёхугольнике равна \( 360^{\circ} \). Следовательно:

\( \angle AOB + \angle OAP + \angle ABP + \angle OBP = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 90^{\circ} + 36^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB + 216^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( \angle AOB = 360^{\circ} - 216^{\circ} \)

\( \angle AOB = 144^{\circ} \)

Теперь рассмотрим треугольник AOB. OA и OB — радиусы окружности, поэтому \( OA = OB \). Треугольник AOB — равнобедренный.

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

\( \angle OAB = \angle OBA \)

\( \angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 144^{\circ} + 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 180^{\circ} - 144^{\circ} \)

\( 2 \cdot \angle OBA = 36^{\circ} \)

\( \angle OBA = \frac{36^{\circ}}{2} \)

\( \angle OBA = 18^{\circ} \)

Угол АВО равен углу ОВА.

Ответ: 18