57. Касательные в точках А и В к окружности с центром О пересекаются под углом 42°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Пусть точка пересечения касательных – точка С. Угол АСВ равен 42°. ОА и ОВ – радиусы, проведенные в точки касания, поэтому ОА перпендикулярна АС и ОВ перпендикулярна ВС. Углы ОАС и ОВС равны 90°. Рассмотрим четырехугольник ОАСВ. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Угол ОАС + угол АСВ + угол СВО + угол АОВ = 360°. 90° + 42° + 90° + угол АОВ = 360°. Угол АОВ = 360° - 90° - 42° - 90° = 138°. Рассмотрим треугольник АОВ. ОА = ОВ = радиус окружности, поэтому треугольник АОВ – равнобедренный. Угол ОАВ = угол ОВА. Угол ОАВ + угол ОВА + угол АОВ = 180°. 2 * угол ОВА + 138° = 180°. 2 * угол ОВА = 180° - 138° = 42°. Угол ОВА = 42° / 2 = 21°. Ответ: 21°