Касательные в точке A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Дано: касательные к окружности в точках А и В пересекаются в точке С, ∠ACB = 72°.

Найти: ∠ABO.

Решение:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, ∠OAC = ∠OBC = 90°.
2. Рассмотрим четырехугольник OACB. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
3. Найдем ∠AOB: ∠AOB = 360° - ∠OAC - ∠OBC - ∠ACB = 360° - 90° - 90° - 72° = 108°.
4. Треугольник AOB равнобедренный, так как OA = OB (радиусы окружности). Следовательно, углы при основании равны: ∠OAB = ∠OBA.
5. Найдем ∠OAB: ∠OAB = (180° - ∠AOB) / 2 = (180° - 108°) / 2 = 72° / 2 = 36°.
6. ∠ABO = ∠OBA = 36°.

Ответ: ∠ABO = 36°.