Катер проплывает 20 км против течения и ещё 24 км по течению за то же время, за которое плот может проплыть по этой реке 9 км. Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки.

Решение:

Пусть \(x\) км/ч — скорость течения реки.

Скорость катера против течения: \((15 - x)\) км/ч.

Скорость катера по течению: \((15 + x)\) км/ч.

Время движения против течения: \(\frac{20}{15-x}\) часов.

Время движения по течению: \(\frac{24}{15+x}\) часов.

Время движения плота: \(\frac{9}{x}\) часов.

По условию, время движения катера (против и по течению) равно времени движения плота:

\(\frac{20}{15-x} + \frac{24}{15+x} = \frac{9}{x}\)

Приведем левую часть к общему знаменателю:

\(\frac{20(15+x) + 24(15-x)}{(15-x)(15+x)} = \frac{9}{x}\)

\(\frac{300 + 20x + 360 - 24x}{225 - x^2} = \frac{9}{x}\)

\(\frac{660 - 4x}{225 - x^2} = \frac{9}{x}\)

Перемножим крест-накрест:

\(x(660 - 4x) = 9(225 - x^2)\)

\(660x - 4x^2 = 2025 - 9x^2\)

Перенесем все члены в одну сторону:

\(9x^2 - 4x^2 + 660x - 2025 = 0\)

\(5x^2 + 660x - 2025 = 0\)

Разделим на 5:

\(x^2 + 132x - 405 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = 132^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-405) = 17424 + 1620 = 19044\).

\(\sqrt{D} = \sqrt{19044} \approx 138.0\) (для точности лучше использовать калькулятор или проверить, что \(19044 = 36 \cdot 529 = 36 \cdot 23^2 \), тогда \(\sqrt{D} = 6 \cdot 23 = 138\)).

\(x_1 = \frac{-132 + 138}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{-132 - 138}{2 \cdot 1} = \frac{-270}{2} = -135\)

Скорость течения не может быть отрицательной, поэтому \(x=3\).

Проверим:

Время против течения: \(\frac{20}{15-3} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\) часа.

Время по течению: \(\frac{24}{15+3} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}\) часа.

Общее время катера: \(\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3\) часа.

Время плота: \(\frac{9}{3} = 3\) часа.

Время совпадает.

Ответ: 3 км/ч