38.9. Катер прошел 16 км по течению реки и 30 км против течения, тратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Решим задачу по шагам.

Пусть х - собственная скорость катера.

1 ч 30 мин = 1,5 ч

Скорость катера по течению: х + 1 км/ч

Скорость катера против течения: х - 1 км/ч

Время, затраченное на путь по течению: 16/(х+1) ч

Время, затраченное на путь против течения: 30/(х-1) ч

Общее время в пути: 16/(х+1) + 30/(х-1) = 1,5

Решим уравнение:

$$ \frac{16}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 1,5 $$

$$ \frac{16(x-1) + 30(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{2} $$

$$ \frac{16x - 16 + 30x + 30}{x^2 - 1} = \frac{3}{2} $$

$$ \frac{46x + 14}{x^2 - 1} = \frac{3}{2} $$

$$ 2(46x + 14) = 3(x^2 - 1) $$

$$ 92x + 28 = 3x^2 - 3 $$

$$ 3x^2 - 92x - 31 = 0 $$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$ D = (-92)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 31 = 8464 + 372 = 8836 $$

$$ x_1 = \frac{92 + \sqrt{8836}}{2 \cdot 3} = \frac{92 + 94}{6} = \frac{186}{6} = 31 $$

$$ x_2 = \frac{92 - \sqrt{8836}}{2 \cdot 3} = \frac{92 - 94}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, то х = 31 км/ч

Ответ: 31 км/ч