2. Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения 2 км/ч.

**Решение:** 1. **Обозначения:** * \(v\) - собственная скорость катера (км/ч). * \(t_1\) - время, затраченное на путь по течению (ч). * \(t_2\) - время, затраченное на путь против течения (ч). 2. **Выражаем время движения по течению и против течения:** * Время по течению: \(\frac{80}{v + 2}\) * Время против течения: \(\frac{80}{v - 2}\) 3. **Составляем уравнение, исходя из условия:** \(\frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} = 9\) 4. **Решаем уравнение:** Умножаем обе части уравнения на \((v + 2)(v - 2)\) для избавления от знаменателей: \(80(v - 2) + 80(v + 2) = 9(v^2 - 4)\) \(80v - 160 + 80v + 160 = 9v^2 - 36\) \(160v = 9v^2 - 36\) \(9v^2 - 160v - 36 = 0\) 5. **Решаем квадратное уравнение:** Дискриминант: \(D = (-160)^2 - 4 * 9 * (-36) = 25600 + 1296 = 26896\) \(v_1 = \frac{160 + \sqrt{26896}}{18} = \frac{160 + 164}{18} = \frac{324}{18} = 18\) \(v_2 = \frac{160 - \sqrt{26896}}{18} = \frac{160 - 164}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\) 6. **Выбираем подходящий корень:** Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v = 18\). **Ответ:** Собственная скорость катера равна 18 км/ч.