3. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему понадобилось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?

**Решение задачи про катер** 1. **Обозначения:** * Пусть \(v\) (км/ч) - собственная скорость катера. * Скорость течения реки: \(v_t = 3\) км/ч. 2. **Скорости по течению и против течения:** * Скорость против течения: \(v - v_t = v - 3\) км/ч. * Скорость по течению: \(v + v_t = v + 3\) км/ч. 3. **Время в пути:** * Время против течения: \(t_{против} = \frac{12}{v-3}\) * Время по течению: \(t_{по} = \frac{5}{v+3}\) * Время по озеру: \(t_{озеро} = \frac{18}{v}\) 4. **Уравнение:** Из условия задачи известно, что время, затраченное на путь против течения и по течению, равно времени, затраченному на путь по озеру. Значит: \(t_{против} + t_{по} = t_{озеро}\) \(\frac{12}{v-3} + \frac{5}{v+3} = \frac{18}{v}\) 5. **Решаем уравнение:** * Приводим к общему знаменателю: \(\frac{12(v+3) + 5(v-3)}{(v-3)(v+3)} = \frac{18}{v}\) \(\frac{12v + 36 + 5v - 15}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\) \(\frac{17v + 21}{v^2 - 9} = \frac{18}{v}\) * Перемножаем крест-накрест: \(v(17v + 21) = 18(v^2 - 9)\) \(17v^2 + 21v = 18v^2 - 162\) * Переносим все в одну сторону и получаем квадратное уравнение: \(v^2 - 21v - 162 = 0\) 6. **Решаем квадратное уравнение через дискриминант:** \(D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089\) \(v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27\) \(v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - \sqrt{1089}}{2} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) 7. **Выбираем подходящий корень:** Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \(v = 27\) км/ч. **Ответ: Собственная скорость катера - 27 км/ч.**