4. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера (в км/ч).

Скорость катера против течения реки равна $$v - 3$$ км/ч.

Время, затраченное на путь против течения, равно $$\frac{12}{v - 3}$$ ч.

Скорость катера по течению реки равна $$v + 3$$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, равно $$\frac{5}{v + 3}$$ ч.

Время, затраченное на путь по озеру, равно $$\frac{18}{v}$$ ч.

По условию, время, затраченное на путь против течения и по течению, равно времени, затраченному на путь по озеру:

$$\frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} = \frac{18}{v}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{12(v(v+3)) + 5(v(v-3))}{v(v - 3)(v + 3)} = \frac{18((v-3)(v+3))}{v(v - 3)(v + 3)}$$ $$12v(v+3) + 5v(v-3) = 18(v^2 - 9)$$ $$12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18v^2 - 162$$ $$17v^2 + 21v = 18v^2 - 162$$

Приведем к квадратному уравнению:

$$v^2 - 21v - 162 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант равен $$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089 = 33^2$$.

Корни уравнения:

$$v_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$$ $$v_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Поскольку скорость не может быть отрицательной, остается только $$v = 27$$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость катера равна 27 км/ч.