2.1) Катер прошёл 12км против течения реки и 5км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3км/ч.

Пусть v - собственная скорость катера (км/ч). Скорость катера против течения реки: v - 3 (км/ч). Скорость катера по течению реки: v + 3 (км/ч). Время, затраченное на путь против течения: 12 / (v - 3) (ч). Время, затраченное на путь по течению: 5 / (v + 3) (ч). Общее время, затраченное на путь против и по течению: 12 / (v - 3) + 5 / (v + 3) (ч). Время, затраченное на путь по озеру: 18 / v (ч). По условию задачи: $$\frac{12}{v - 3} + \frac{5}{v + 3} = \frac{18}{v}$$ Умножим обе части уравнения на v(v - 3)(v + 3): $$12v(v + 3) + 5v(v - 3) = 18(v - 3)(v + 3)$$ $$12v^2 + 36v + 5v^2 - 15v = 18(v^2 - 9)$$ $$17v^2 + 21v = 18v^2 - 162$$ $$0 = v^2 - 21v - 162$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 441 + 648 = 1089$$ $$v_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 33}{2} = \frac{54}{2} = 27$$ $$v_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 33}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Так как скорость не может быть отрицательной, v = 27 км/ч. Ответ: 27 км/ч