Вариант 3 1. Решите уравнение: a) x²+14x+24 x-2=0; 6) x+3 x-3= 2x+3 x ; B) x-3 x-2+ x-2 x-3= 1 2 2.

Для решения уравнения a) необходимо решить квадратное уравнение: $$x^2 + 14x + 24 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$$ Так как D > 0, уравнение имеет два корня: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 10}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ Однако, необходимо учесть ограничение, что x ≠ 2, так как в исходном уравнении есть знаменатель (x-2). x = -2 не является посторонним корнем. Таким образом, уравнение имеет два корня: -2 и -12. Для решения уравнения б) необходимо решить уравнение: $$\frac{x+3}{x-3} = \frac{2x+3}{x}$$ Умножим обе части уравнения на x(x-3) при условии x ≠ 0 и x ≠ 3: $$x(x+3) = (2x+3)(x-3)$$ $$x^2 + 3x = 2x^2 - 6x + 3x - 9$$ $$x^2 + 3x = 2x^2 - 3x - 9$$ $$0 = x^2 - 6x - 9$$ Вычислим дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72$$ $$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2}$$ $$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{72}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 6\sqrt{2}}{2} = 3 - 3\sqrt{2}$$ Оба корня не равны 0 и 3, следовательно, оба являются решениями. Для решения уравнения в) необходимо решить уравнение: $$\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = \frac{1}{2}$$ Умножим обе части уравнения на 2(x-2)(x-3) при условии x ≠ 2 и x ≠ 3: $$2(x-3)^2 + 2(x-2)^2 = (x-2)(x-3)$$ $$2(x^2 - 6x + 9) + 2(x^2 - 4x + 4) = x^2 - 5x + 6$$ $$2x^2 - 12x + 18 + 2x^2 - 8x + 8 = x^2 - 5x + 6$$ $$4x^2 - 20x + 26 = x^2 - 5x + 6$$ $$3x^2 - 15x + 20 = 0$$ Вычислим дискриминант: $$D = (-15)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 225 - 240 = -15$$ Так как D < 0, уравнение не имеет действительных корней. Ответ: a) x = -2, x = -12; б) $$x = 3 \pm 3\sqrt{2}$$; в) нет действительных решений.