15. Катер прошёл по течению реки 72 км, повернув обратно, он прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ - собственная скорость катера (км/ч). Скорость катера по течению реки: $$x + 5$$ (км/ч). Скорость катера против течения реки: $$x - 5$$ (км/ч). Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{72}{x+5}$$ (часов). Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{54}{x-5}$$ (часов). Общее время в пути: $$\frac{72}{x+5} + \frac{54}{x-5} = 9$$. Решим уравнение: $$\frac{72}{x+5} + \frac{54}{x-5} = 9$$ Умножим обе части уравнения на $$(x+5)(x-5)$$: $$72(x-5) + 54(x+5) = 9(x+5)(x-5)$$ $$72x - 360 + 54x + 270 = 9(x^2 - 25)$$ $$126x - 90 = 9x^2 - 225$$ $$9x^2 - 126x - 225 + 90 = 0$$ $$9x^2 - 126x - 135 = 0$$ Разделим обе части уравнения на 9: $$x^2 - 14x - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256$$ $$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = 15$$ км/ч. Ответ: 15 км/ч