15. Катер прошёл по течению реки 72 км, повернув обратно, он прошёл ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Пусть $$x$$ - собственная скорость катера (км/ч).

Скорость катера по течению реки: $$x + 5$$ (км/ч).

Скорость катера против течения реки: $$x - 5$$ (км/ч).

Время, затраченное на путь по течению: $$\frac{72}{x+5}$$ (часов).

Время, затраченное на путь против течения: $$\frac{54}{x-5}$$ (часов).

Общее время в пути: $$\frac{72}{x+5} + \frac{54}{x-5} = 9$$.

Решим уравнение:

$$\frac{72}{x+5} + \frac{54}{x-5} = 9$$

Умножим обе части уравнения на $$(x+5)(x-5)$$:

$$72(x-5) + 54(x+5) = 9(x+5)(x-5)$$

$$72x - 360 + 54x + 270 = 9(x^2 - 25)$$

$$126x - 90 = 9x^2 - 225$$

$$9x^2 - 126x - 225 + 90 = 0$$

$$9x^2 - 126x - 135 = 0$$

Разделим обе части уравнения на 9:

$$x^2 - 14x - 15 = 0$$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256$$

$$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{256}}{2(1)} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то $$x = 15$$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч