8. Катер прошёл по течению реки 80 км, повернув обратно, он прошёл ещё 60 км, затратив на весь путь 10 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч

Пусть $$v$$ - собственная скорость катера. Время, затраченное на путь по течению реки: $$t_1 = \frac{80}{v + 5}$$. Время, затраченное на путь против течения реки: $$t_2 = \frac{60}{v - 5}$$. Общее время: $$t_1 + t_2 = 10$$. $$\frac{80}{v + 5} + \frac{60}{v - 5} = 10$$ Умножим обе части уравнения на $$(v + 5)(v - 5)$$: $$80(v - 5) + 60(v + 5) = 10(v^2 - 25)$$ $$80v - 400 + 60v + 300 = 10v^2 - 250$$ $$140v - 100 = 10v^2 - 250$$ $$10v^2 - 140v - 150 = 0$$ Разделим на 10: $$v^2 - 14v - 15 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-14)^2 - 4(1)(-15) = 196 + 60 = 256$$ $$v_1 = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$v_2 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $$v = 15$$. Ответ: 15