9. Катер прошёл по течению реки 32 км, повернув обратно, он прошёл ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Логика такая: Пусть x – собственная скорость катера. Тогда скорость по течению будет x + 5, а против течения – x - 5. Время, затраченное на путь, равно расстоянию, деленному на скорость. Составляем уравнение, исходя из общего времени в пути.

1. Обозначения:
   • x (км/ч) – собственная скорость катера
   • x + 5 (км/ч) – скорость катера по течению
   • x - 5 (км/ч) – скорость катера против течения
2. Уравнение времени:

\[ \frac{32}{x + 5} + \frac{24}{x - 5} = 4 \]

3. Решение уравнения:

\[ \frac{32(x - 5) + 24(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 4 \] \[ 32x - 160 + 24x + 120 = 4(x^2 - 25) \] \[ 56x - 40 = 4x^2 - 100 \] \[ 4x^2 - 56x - 60 = 0 \] \[ x^2 - 14x - 15 = 0 \]

Показать решение квадратного уравнения

1. Находим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]

2. Находим корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + \sqrt{256}}{2} = \frac{14 + 16}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - \sqrt{256}}{2} = \frac{14 - 16}{2} = -1 \]

4. Выбор решения:

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем x = 15.

Ответ: Собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденная скорость положительна и подставлена в исходное уравнение.

Читерский прием: Всегда проверяй корни квадратного уравнения, чтобы избежать ошибок в вычислениях.