Катер прошёл по течению реки 40 км, а против течения — 36 км, затратив на путь по течению на 1 час меньше, чем против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — собственная скорость катера (в км/ч). Скорость течения реки равна 2 км/ч.

1. Скорость катера по течению: \( v + 2 \) км/ч.
2. Скорость катера против течения: \( v - 2 \) км/ч.
3. Время, затраченное на путь по течению: \( t_1 = \frac{40}{v + 2} \) ч.
4. Время, затраченное на путь против течения: \( t_2 = \frac{36}{v - 2} \) ч.
5. По условию, на путь по течению затрачено на 1 час меньше, чем против течения: \( t_1 = t_2 - 1 \).
6. Подставим выражения для времени: \( \frac{40}{v + 2} = \frac{36}{v - 2} - 1 \)
7. Приведём к общему знаменателю \( (v+2)(v-2) \):
8. \( 40(v - 2) = 36(v + 2) - (v + 2)(v - 2) \)
9. \( 40v - 80 = 36v + 72 - (v^2 - 4) \)
10. \( 40v - 80 = 36v + 72 - v^2 + 4 \)
11. \( 40v - 80 = 36v + 76 - v^2 \)
12. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( v^2 + 40v - 36v - 80 - 76 = 0 \)
13. \( v^2 + 4v - 156 = 0 \)
14. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-156) = 16 + 624 = 640 \)
15. \( \sqrt{D} = \sqrt{640} = \sqrt{64 \cdot 10} = 8\sqrt{10} \)
16. Найдём корни: \( v_1 = \frac{-4 + 8\sqrt{10}}{2} = -2 + 4\sqrt{10} \)
17. \( v_2 = \frac{-4 - 8\sqrt{10}}{2} = -2 - 4\sqrt{10} \)
18. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \( v = -2 + 4\sqrt{10} \). \( 4\sqrt{10} \approx 4 \cdot 3.16 = 12.64 \), поэтому \( v \approx 10.64 \) км/ч.

Ответ: \( -2 + 4\sqrt{10} \) км/ч