Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 36 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 17:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Давай решим эту задачу.

Пусть \[ v \] - собственная скорость катера (км/ч), а \[ t_1 \] - время, затраченное на путь из А в В по течению, и \[ t_2 \] - время на обратный путь против течения.

Расстояние между пунктами А и В равно 36 км. Скорость течения реки 3 км/ч.

Тогда:

• Скорость по течению: \[ v + 3 \] (км/ч)
• Скорость против течения: \[ v - 3 \] (км/ч)

Время в пути из А в В: \[ t_1 = \frac{36}{v + 3} \]

Время в пути из В в А: \[ t_2 = \frac{36}{v - 3} \]

Общее время в пути (без учета стоянки в пункте B) составляет:

\[ 17:00 - 10:00 - 2 \] часа = 5 часов.

Следовательно, \[ t_1 + t_2 = 5 \]

Подставим выражения для \[ t_1 \] и \[ t_2 \]:

\[ \frac{36}{v + 3} + \frac{36}{v - 3} = 5 \]

Решим уравнение:

\[ 36(v - 3) + 36(v + 3) = 5(v + 3)(v - 3) \]

\[ 36v - 108 + 36v + 108 = 5(v^2 - 9) \]

\[ 72v = 5v^2 - 45 \]

\[ 5v^2 - 72v - 45 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[ D = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \]

Корни уравнения:

\[ v_1 = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15 \]

\[ v_2 = \frac{72 - 78}{10} = -0.6 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем \[ v = 15 \] км/ч.

Ответ: 15