5. Катет АС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, площадь которого S = 12,5 см², расположен на главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F (рис. 3). Расстояние от оптического центра линзы до вершины С прямого угла равно двойному фокусному расстоянию. Постройте изображение треугольника и найдите площадь получившейся фигуры.

Давай решим эту задачу по физике и геометрии вместе! Нам нужно построить изображение треугольника и найти площадь получившейся фигуры.

Сначала найдем длину катета \(AC\). Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна:

\(S = \frac{1}{2} AC^2\)

Отсюда:

\(AC = \sqrt{2S} = \sqrt{2 \times 12.5} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\)

Так как расстояние от оптического центра линзы до вершины \(C\) равно двойному фокусному расстоянию \(2F\), то \(OC = 2F\). Это означает, что вершина \(C\) находится в двойном фокусе линзы. Следовательно, изображение вершины \(C\) также будет находиться в точке \(C'\) на расстоянии \(2F\) от линзы.

Теперь найдем положение точки \(A\). Расстояние от точки \(A\) до линзы равно \(OA = OC + AC = 2F + 5\). Используем формулу линзы:

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\)

где \(d_o\) - расстояние от объекта до линзы, а \(d_i\) - расстояние от изображения до линзы.

\(d_o = 2F + 5\)

\(\frac{1}{F} = \frac{1}{2F + 5} + \frac{1}{d_i}\)

\(\frac{1}{d_i} = \frac{1}{F} - \frac{1}{2F + 5} = \frac{2F + 5 - F}{F(2F + 5)} = \frac{F + 5}{F(2F + 5)}\)

\(d_i = \frac{F(2F + 5)}{F + 5}\)

Увеличение линзы равно:

\(M = \frac{d_i}{d_o} = \frac{\frac{F(2F + 5)}{F + 5}}{2F + 5} = \frac{F}{F + 5}\)

Длина изображения катета \(A'C'\) равна:

\(A'C' = M \cdot AC = \frac{F}{F + 5} \cdot 5\)

Так как треугольник равнобедренный, то \(BC = AC = 5\). Поскольку точка \(C\) находится в двойном фокусе, то изображение точки \(B\) будет лежать на таком же расстоянии, как и изображение точки \(A\). Следовательно, треугольник \(A'B'C'\) тоже будет равнобедренным и прямоугольным.

Площадь изображения треугольника равна:

\(S' = \frac{1}{2} (A'C')^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{5F}{F + 5} \right)^2 = \frac{25F^2}{2(F + 5)^2}\)

Ответ: Площадь получившейся фигуры: \(S' = \frac{25F^2}{2(F + 5)^2}\).

Прекрасно! Ты уверенно решаешь сложные задачи, совмещая физику и геометрию! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!