Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 21 и 75. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника, \( c \) — гипотенуза, \( h \) — высота, проведенная к гипотенузе.

Дано:

• Один катет \( a = 21 \)
• Гипотенуза \( c = 75 \)

Найдем второй катет \( b \) по теореме Пифагора:

\( a^2 + b^2 = c^2 \)

\( 21^2 + b^2 = 75^2 \)

\( 441 + b^2 = 5625 \)

\( b^2 = 5625 - 441 \)

\( b^2 = 5184 \)

\( b = \sqrt{5184} = 72 \)

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \)

2. Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2}ch \)

Приравняем эти два выражения:

\(\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch\)

\(ab = ch\)

Выразим высоту \( h \):

\( h = \frac{ab}{c} \)

Подставим известные значения:

\( h = \frac{21 \cdot 72}{75} \)

\( h = \frac{1512}{75} \)

\( h = 20.16 \)

Ответ: 20.16.