1. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а гипотенуза - 9 см. Найдите проекцию данного катета на гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой, AC = 6 см, AB = 9 см. Нужно найти проекцию катета AC на гипотенузу AB.

Шаг 1: Найдем катет BC, используя теорему Пифагора:

\[BC^2 = AB^2 - AC^2\] \[BC^2 = 9^2 - 6^2 = 81 - 36 = 45\] \[BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\]

Шаг 2: Обозначим проекцию катета AC на гипотенузу AB как AH. Рассмотрим треугольник ABC и ACH. Угол A - общий, угол C = углу H = 90 градусов. Следовательно, треугольники ABC и ACH подобны по двум углам.

Шаг 3: Запишем отношение сторон из подобия треугольников:

\[\frac{AC}{AB} = \frac{AH}{AC}\]

Шаг 4: Подставим известные значения и найдем AH:

\[\frac{6}{9} = \frac{AH}{6}\] \[AH = \frac{6 \cdot 6}{9} = \frac{36}{9} = 4\]

Ответ: Проекция катета AC на гипотенузу AB равна 4 см.