Катеты прямоугольного треугольника равны 30 и 72. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \( C = 90^{\circ} \). Катеты \( a = 30 \) и \( b = 72 \). Гипотенуза \( c \) находится по теореме Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \).

\[ c^2 = 30^2 + 72^2 = 900 + 5184 = 6084 \]\[ c = \sqrt{6084} = 78 \]

Площадь треугольника можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \( S = \frac{1}{2}ab \).

2. Через гипотенузу и высоту к ней: \( S = \frac{1}{2}ch_c \), где \( h_c \) — высота, проведённая к гипотенузе.

Приравняем оба выражения для площади:

\[ \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch_c \]

\[ ab = ch_c \]

\[ h_c = \frac{ab}{c} \]

\[ h_c = \frac{30 \cdot 72}{78} = \frac{2160}{78} = \frac{360}{13} \]

Ответ: \( \frac{360}{13} \).