Постройте график функции y = |x^2 - 4x + 3|. Какое наибольшее число общих точек может иметь график данной функции с прямой, параллельной оси абсцисс?

Решение:

Для построения графика функции \( y = |x^2 - 4x + 3| \), сначала построим график функции \( y = x^2 - 4x + 3 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину параболы: \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \). \( y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \). Вершина находится в точке \( (2; -1) \).

Найдем точки пересечения с осью абсцисс, приравняв \( y = 0 \): \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \). \( x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \). Точки пересечения: \( (1; 0) \) и \( (3; 0) \).

Часть графика, где \( y < 0 \) (между корнями \( x=1 \) и \( x=3 \)), зеркально отражается относительно оси абсцисс.

График функции \( y = |x^2 - 4x + 3| \) будет иметь две части: одна часть параболы \( y = x^2 - 4x + 3 \) для \( x \leq 1 \) и \( x \geq 3 \), и другая часть — отраженная парабола \( y = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3 \) для \( 1 < x < 3 \).

Наибольшее число общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс (горизонтальной прямой \( y = k \)), будет равно 4, когда \( 0 < k < 1 \).

Ответ: наибольшее число общих точек — 4.