В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁. Докажите, что углы A₁AB₁ и A₁BB₁ равны.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. Проведены высоты AA₁ и BB₁. Это означает, что \( ∠ AA_1B = 90^{\circ} \) и \( ∠ BB_1A = 90^{\circ} \).

Рассмотрим четырехугольник AB₁A₁B. Сумма углов этого четырехугольника равна \( 360^{\circ} \).

Углы \( ∠ AA_1B \) и \( ∠ BB_1A \) равны \( 90^{\circ} \). Следовательно, сумма этих двух углов равна \( 180^{\circ} \).

В четырехугольнике AB₁A₁B сумма углов \( ∠ A_1AB_1 \) и \( ∠ A_1BB_1 \) равна \( 360^{\circ} - (∠ AA_1B + ∠ BB_1A) = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 90^{\circ}) = 360^{\circ} - 180^{\circ} = 180^{\circ} \).

Четырехугольник, у которого сумма противоположных углов равна \( 180^{\circ} \), является вписанным в окружность. Следовательно, точки A, B, A₁, B₁ лежат на одной окружности.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны.

Углы \( ∠ A_1BB_1 \) и \( ∠ A_1AB_1 \) являются вписанными углами, опирающимися на хорду \( A_1B_1 \) окружности, проходящей через точки A, B, A₁, B₁.

Следовательно, \( ∠ A_1AB_1 = ∠ A_1BB_1 \).

Что и требовалось доказать.