Каждое ребро тетраэдра DABC равно 2 см. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки B, C и середину ребра AD. Вычислите периметр сечения.

Обозначим середину ребра AD через M. Плоскость, проходящая через точки B, C и M, пересекает тетраэдр по треугольнику BMC.

Построение сечения: отметим точку M — середину ребра AD, затем проведём отрезки MB, MC и BC. Полученный треугольник BMC является искомым сечением.

Грани ABD и ACD — равносторонние треугольники со стороной 2 см. Поэтому BM и CM являются медианами равносторонних треугольников:

\(BM=CM=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\) см.

Кроме того, \(BC=2\) см. Тогда периметр сечения равен:

\(P_{BMC}=BM+MC+BC=\sqrt{3}+\\sqrt{3}+2=2+2\sqrt{3}\) см.

Ответ: сечение — треугольник BMC; его периметр равен \(2+2\sqrt{3}\) см.