15) Каждый из двух каменщиков должен был замостить плиткой участок тротуара площадью 180 м². Первый каменщик в день укладывал на 5 м² плитки больше, чем второй, поэтому он закончил работу на 3 дня быстрее, чем второй мастер. Сколько квадратных метров плитки укладывал в день первый каменщик?

Пусть $$x$$ – количество квадратных метров плитки, которое укладывал в день второй каменщик. Тогда первый каменщик укладывал $$x + 5$$ квадратных метров плитки в день. Время, которое понадобилось второму каменщику для завершения работы, равно $$\frac{180}{x}$$ дней. Время, которое понадобилось первому каменщику, равно $$\frac{180}{x + 5}$$ дней. Из условия задачи известно, что первый каменщик закончил работу на 3 дня быстрее, чем второй. Следовательно, можем записать уравнение: $$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 5} = 3$$ Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{180(x + 5) - 180x}{x(x + 5)} = 3$$ $$\frac{180x + 900 - 180x}{x^2 + 5x} = 3$$ $$\frac{900}{x^2 + 5x} = 3$$ Умножим обе части уравнения на $$x^2 + 5x$$: $$900 = 3(x^2 + 5x)$$ $$900 = 3x^2 + 15x$$ Разделим обе части на 3: $$300 = x^2 + 5x$$ Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$x^2 + 5x - 300 = 0$$ Теперь решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$$ Теперь найдем корни: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1225}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 35}{2}$$ $$x_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$$ $$x_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$ Так как количество квадратных метров плитки не может быть отрицательным, то $$x = 15$$. Следовательно, второй каменщик укладывал 15 м² плитки в день, а первый каменщик укладывал $$x + 5 = 15 + 5 = 20$$ м² плитки в день. Ответ: 20 квадратных метров