№12 K D A 0 C Дано: Окр(0; R), где О её центр. - радиус; R = AO = OC = OD; ZACB = 41; BKD = 68. Найдите ∠BDO. Ответ:

Пошаговое решение:

1. Найдем угол \(\angle ABD\):

   Угол \(\angle BKD\) является вписанным и опирается на дугу \(BD\). Следовательно, дуга \(\stackrel{\frown}{BD} = 2 \cdot \angle BKD = 2 \cdot 68^{\circ} = 136^{\circ}\).

   Угол \(\angle ABD\) является вписанным и опирается на ту же дугу \(BD\). Следовательно, \(\angle ABD = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\frown}{BD} = \frac{1}{2} \cdot 136^{\circ} = 68^{\circ}\).

2. Найдем угол \(\angle BAD\):

   Угол \(\angle ACB\) является вписанным и опирается на дугу \(AB\). Следовательно, дуга \(\stackrel{\frown}{AB} = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 41^{\circ} = 82^{\circ}\).

   Угол \(\angle ADB\) является вписанным и опирается на дугу \(AB\). Следовательно, \(\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\frown}{AB} = \frac{1}{2} \cdot 82^{\circ} = 41^{\circ}\).

   Рассмотрим треугольник \(\triangle ABD\). Сумма углов треугольника равна \(180^{\circ}\). Тогда \(\angle BAD = 180^{\circ} - \angle ABD - \angle ADB = 180^{\circ} - 68^{\circ} - 41^{\circ} = 71^{\circ}\).

3. Найдем угол \(\angle BDA\) (он же \(\angle BDO\)):

   По условию \(AO = OD\), следовательно, треугольник \(\triangle AOD\) равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle DAO = \angle ADO\).

   \(\angle DAO = \angle ADO = \frac{180^{\circ} - \angle AOD}{2}\)

   Так как \(AO = OC = OD\), то \(O\) — центр окружности, и \(\angle AOD\) — центральный угол, опирающийся на дугу \(AD\), которая равна \(2 \cdot \angle ABD = 2 \cdot 68^{\circ} = 136^{\circ}\)

   Тогда \(\angle AOD = 136^{\circ}\).

   Следовательно, \(\angle DAO = \angle ADO = \frac{180^{\circ} - 136^{\circ}}{2} = \frac{44^{\circ}}{2} = 22^{\circ}\)

   Тогда \(\angle BDO = \angle BDA - \angle ODA = 41^{\circ} - 22^{\circ} = 19^{\circ}\).

Ответ: \(\angle BDO = 19^{\circ}\)