KL, ∠K, ∠L - ?

Решение:

В треугольнике KML, KL = 10, ∠KMN = 30°, ∠KNL = 90°.

1. В прямоугольном треугольнике KNL: \( \angle L = 180° - 90° - \angle KNL \). Требуется \( \angle KNL \), но нам дано \( \angle KNL = 90° \) и \( \angle KMN = 30° \).
2. В треугольнике KML: \( \angle KML = 30° \).
3. В прямоугольном треугольнике KNL: \( KN = KL \cdot \sin(\angle L) \) и \( NL = KL \cdot \cos(\angle L) \).
4. В треугольнике KML: \( \angle K = 180° - \angle KML - \angle L = 180° - 30° - \angle L \).
5. В прямоугольном треугольнике KNL: \( KL = 10 \). \( KN = KL \cdot \sin(\angle L) = 10 \sin(\angle L) \). \( NL = KL \cdot \cos(\angle L) = 10 \cos(\angle L) \).
6. В прямоугольном треугольнике KMN: \( KN = NL \cdot \tan(\angle KNL) \).
7. Так как \( \angle KNL = 90° \), то \( KN = MN \cdot \tan(\angle KMN) = MN \cdot \tan(30°) \).
8. Из \( KL = 10 \) и \( \angle KNL = 90° \), \( KN = KL \sin(\angle L) = 10 \sin(\angle L) \) и \( NL = KL \cos(\angle L) = 10 \cos(\angle L) \).
9. Из \( \angle KML = 30° \) и \( \angle KNL = 90° \): \( KN = NL \tan(30°) \).
10. \( 10 \sin(\angle L) = 10 \cos(\angle L) \tan(30°) \)
11. \( \sin(\angle L) = \cos(\angle L) \frac{1}{\sqrt{3}} \)
12. \( \tan(\angle L) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
13. \( \angle L = 30° \)
14. \( \angle K = 180° - 30° - 30° = 120° \)
15. \( KL = 10 \).

Ответ: KL = 10, ∠K = 120°, ∠L = 30°.